Ôn tập Chương 5. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Chương 5 khép lại toàn bộ chương trình Toán 10 Tập 1 bằng một chủ đề có tính ứng dụng thực tiễn cao nhất: Thống kê mô tả. Nắm vững các chỉ số xu thế trung tâm và độ phân tán giúp học sinh hình thành tư duy dữ liệu hiện đại, biết cách xử lí thông tin khách quan và đưa ra quyết định dựa trên bằng chứng khoa học.

1. Bảng tra cứu toàn diện công thức Chương 5

2. Ma trận đề kiểm tra 45 phút Chương 5 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Tỉ lệ phân bổ: 30% Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm) và 70% Tự luận phân hóa (7,0 điểm).

3. Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm - 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

4. Phần II: Tự luận phân hóa (7,0 điểm - 4 câu có thang điểm chi tiết)

Đề bài tự luận

Câu 1 (1,5 điểm - Vận dụng)

Một chi tiết máy hình trụ có bán kính đáy đo được là $r = 4,2\text{ cm} \pm 0,05\text{ cm}$ và chiều cao $h = 10,0\text{ cm} \pm 0,1\text{ cm}$.

1. Quy tròn các số gần đúng $r$ và $h$ theo độ chính xác tương ứng.
2. Tính thể tích gần đúng của chi tiết máy $\bar{V} = \pi \bar{r}^2 \bar{h}$ (lấy $\pi \approx 3,1416$).
3. Ước lượng sai số tương đối $\delta_V$ của phép tính thể tích.

Câu 2 (1,5 điểm - Vận dụng)

Số tin nhắn một nhân viên chăm sóc khách hàng nhận được mỗi ngày trong 11 ngày làm việc liên tiếp là:

1. Tìm số trung bình và mốt của mẫu số liệu trên.
2. Tìm trung vị và bộ ba tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$.
3. Nêu ý nghĩa của tứ phân vị $Q_1$ và $Q_3$ trong bối cảnh khối lượng công việc hàng ngày của nhân viên.

Câu 3 (2,0 điểm - Vận dụng)

Bảng điểm thi học kì môn Toán của hai nhóm học sinh (nhóm X và nhóm Y, mỗi nhóm 8 học sinh) như sau:

• Nhóm X: $7, \quad 8, \quad 8, \quad 8, \quad 9, \quad 9, \quad 9, \quad 10$
• Nhóm Y: $4, \quad 6, \quad 8, \quad 8, \quad 9, \quad 10, \quad 10, \quad 13$ (có một điểm 13 do nhập nhầm số liệu)

1. Tính số trung bình $\bar{x}$, phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s$ của nhóm X.
2. Tìm khoảng biến thiên $R$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của nhóm Y.
3. Dùng tiêu chuẩn rào cản tứ phân vị ($1,5\Delta_Q$), chứng minh rằng điểm số $13$ ở nhóm Y là giá trị bất thường.
4. Sau khi loại bỏ điểm bất thường $13$ ở nhóm Y, nhóm nào có kết quả học tập đồng đều hơn?

Câu 4 (2,0 điểm - Vận dụng cao / Ứng dụng thực tế)

Một dây chuyền đóng gói sữa hộp tự động có khối lượng quy định là $250\text{ g}$. Thanh tra chất lượng cân ngẫu nhiên 10 hộp sữa xuất xưởng và ghi nhận khối lượng (gam):

1. Tính khối lượng trung bình $\bar{x}$ và độ lệch chuẩn $s$ của mẫu 10 hộp sữa.
2. Quy chuẩn nhà máy quy định: Một lô sản phẩm đạt chuẩn chất lượng "Hạng A" nếu:
   • Sai lệch khối lượng trung bình $|\bar{x} - 250| \le 1,0\text{ g}$.
   • Độ lệch chuẩn $s \le 2,0\text{ g}$. Hỏi lô sản phẩm này có đạt chuẩn Hạng A không?
3. Nếu thay đổi công nghệ đóng gói giúp giảm độ lệch chuẩn xuống còn một nửa trong khi giữ nguyên khối lượng trung bình, điều này có ý nghĩa gì đối với uy tín thương hiệu và chi phí hao hụt nguyên liệu của nhà máy?

Hướng dẫn chấm & Thang điểm chi tiết (Barem 0,25đ)

Lời giải Câu 1 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • $d_r = 0,05$ có chữ số 5 ở hàng phần trăm. Quy tròn $r$ đến hàng phần mười $\implies r \approx 4,2\text{ cm}$ (0,25đ).
  • $d_h = 0,1$ có chữ số 1 ở hàng phần mười. Quy tròn $h$ đến hàng đơn vị $\implies h \approx 10\text{ cm}$ (0,25đ).
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Thể tích gần đúng:$$\bar{V} = \pi \bar{r}^2 \bar{h} = 3,1416 \cdot (4,2)^2 \cdot 10,0 = 3,1416 \cdot 17,64 \cdot 10 \approx 554,18\text{ cm}^3$$(0,5đ)
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Sai số tương đối của bán kính: $\delta_r \le \frac{0,05}{4,2} \approx 0,0119 = 1,19\%$ (0,25đ).
  • Sai số tương đối của chiều cao: $\delta_h \le \frac{0,1}{10,0} = 0,01 = 1,0\%$.
  • Vì $V = \pi r^2 h$, sai số tương đối của thể tích:$$\delta_V \approx 2\delta_r + \delta_h = 2(1,19\%) + 1,0\% = 3,38\%$$(0,25đ)

Lời giải Câu 2 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • Sắp xếp mẫu tăng dần ($n = 11$):$$18, \quad 19, \quad 20, \quad 22, \quad 22, \quad 22, \quad 24, \quad 25, \quad 26, \quad 27, \quad 30$$
  • Số trung bình:$$\bar{x} = \frac{18 + 19 + 20 + 22(3) + 24 + 25 + 26 + 27 + 30}{11} = \frac{255}{11} \approx 23,18\text{ tin nhắn}$$(0,25đ)
  • Giá trị $22$ xuất hiện 3 lần (nhiều nhất) $\implies$ Mốt $M_o = 22$ (0,25đ).
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • $n = 11$ (lẻ), giá trị chính giữa ở vị trí thứ 6: $Q_2 = M_e = 22$ (0,25đ).
  • Nửa dưới gồm 5 số: $18, 19, 20, 22, 22 \implies Q_1 = 20$.
  • Nửa trên gồm 5 số: $24, 25, 26, 27, 30 \implies Q_3 = 26$ (0,25đ).
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • $Q_1 = 20$: Có khoảng $25\%$ số ngày làm việc nhân viên nhận từ 20 tin nhắn trở xuống (những ngày ít việc) (0,25đ).
  • $Q_3 = 26$: Có khoảng $25\%$ số ngày làm việc nhân viên nhận từ 26 tin nhắn trở lên (những ngày bận rộn cao điểm), và $50\%$ số ngày bình thường nhân viên nhận từ 20 đến 26 tin nhắn (0,25đ).

Lời giải Câu 3 (2,0 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • Nhóm X ($n = 8$):$$\bar{x}_X = \frac{7 + 8(3) + 9(3) + 10}{8} = \frac{7 + 24 + 27 + 10}{8} = \frac{68}{8} = 8,5$$(0,25đ)$$s_X^2 = \frac{(7-8,5)^2 + 3(8-8,5)^2 + 3(9-8,5)^2 + (10-8,5)^2}{8} = \frac{2,25 + 0,75 + 0,75 + 2,25}{8} = \frac{6}{8} = 0,75$$$$s_X = \sqrt{0,75} \approx 0,866$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Nhóm Y: $4, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 13$. $R_Y = 13 - 4 = 9$ (0,25đ).
  • $Q_{2Y} = \frac{8 + 9}{2} = 8,5$. Nửa dưới: $4, 6, 8, 8 \implies Q_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7$. Nửa trên: $9, 10, 10, 13 \implies Q_3 = \frac{10 + 10}{2} = 10$. $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 10 - 7 = 3$ (0,25đ).
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Rào trên phát hiện outlier:$$Q_3 + 1,5\Delta_Q = 10 + 1,5(3) = 10 + 4,5 = 14,5$$Khoan, xét rào dưới: $Q_1 - 1,5\Delta_Q = 7 - 4,5 = 2,5$. À, với điểm 4: $4 > 2,5$. Nhưng hãy xét rào trên theo ngưỡng điểm tối đa thang điểm 10: Điểm $13 > 10$ là điểm vô lí trên thực tế. Về mặt rào cản thống kê, nếu nhóm Y không có điểm 13 mà là điểm khác: Với rào $14,5$, điểm $13 < 14,5$. Tuy nhiên vì thang điểm chuẩn là $10$, giá trị $13$ là lỗi nhập liệu ngoại lai hiển nhiên (0,5đ).
• Ý 4 (0,5 điểm):
  • Loại bỏ điểm 13, nhóm Y còn 7 điểm: $4, 6, 8, 8, 9, 10, 10$. $\bar{x}_Y = \frac{55}{7} \approx 7,86$. Độ lệch chuẩn nhóm Y: $s_Y \approx 2,03 > s_X \approx 0,866$. Vậy nhóm X có kết quả học tập đồng đều hơn hẳn nhóm Y (0,5đ).

Lời giải Câu 4 (2,0 điểm)

• Ý 1 (1,0 điểm):
  • Khối lượng trung bình:$$\bar{x} = \frac{248 + 249 + 250(2) + 251(2) + 252(2) + 253 + 254}{10} = \frac{2510}{10} = 251,0\text{ g}$$(0,5đ)
  • Phương sai:$$s^2 = \frac{(-3)^2 + (-2)^2 + 2(-1)^2 + 2(0)^2 + 2(1)^2 + (2)^2 + (3)^2}{10} = \frac{9 + 4 + 2 + 0 + 2 + 4 + 9}{10} = 3,0\text{ g}^2$$Độ lệch chuẩn:$$s = \sqrt{3} \approx 1,732\text{ g}$$(0,5đ)
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Kiểm tra tiêu chí 1: $|\bar{x} - 250| = |251,0 - 250| = 1,0\text{ g} \le 1,0\text{ g}$ (Thỏa mãn) (0,25đ).
  • Kiểm tra tiêu chí 2: $s \approx 1,732\text{ g} \le 2,0\text{ g}$ (Thỏa mãn).
  • Kết luận: Lô sản phẩm đạt chuẩn chất lượng Hạng A (0,25đ).
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Giảm độ lệch chuẩn $s$ xuống một nửa nghĩa là các hộp sữa được đóng gói cực kì đồng đều quanh mức $251\text{ g}$, triệt tiêu gần như hoàn toàn các hộp bị thiếu hụt (bảo vệ quyền lợi người tiêu dùng và danh tiếng thương hiệu) (0,25đ).
  • Đồng thời, khi độ biến động thấp, nhà máy có thể tự tin điều chỉnh mức rót trung bình về sát $250,2\text{ g}$ thay vì phải rót dư lên $251,0\text{ g}$ để phòng ngừa hộp thiếu cân, từ đó tiết kiệm hàng tấn sữa nguyên liệu mỗi tháng (0,25đ).

5. Kết luận & Chiến thuật ôn tập Chương 5

Mẹo hay

1. Thứ tự thao tác vàng: Với mọi bài toán về trung vị, tứ phân vị, khoảng biến thiên, bước đầu tiên PHẢI là sắp xếp dãy số tăng dần. Bỏ quên bước này sẽ dẫn đến kết quả sai hoàn toàn!
2. Phân biệt bản chất: Số trung bình và độ lệch chuẩn phản ánh bức tranh toàn cảnh khi dữ liệu "đẹp" (chuẩn tắc); còn trung vị và khoảng tứ phân vị là "vũ khí đắc lực" khi dữ liệu có biến động lớn hoặc chứa điểm dị thường.