Bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối

Phương pháp tính ngược sử dụng để giải các bài toán khó nằm trong chương trình toán nâng cao lớp 5.

1. Phương pháp tính ngược từ cuối là gì?

• Khi giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp từ cuối lên các phép tínhngược lại với các phép tính đã cho trong đề bài. Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm.

• Cách làm này chính là phương pháp tính ngược từ cuối, phương pháp tính ngược hoặc đôi khi còn gọi là phương pháp suy ngược từ cuối.

• Một số phép tính ngược của nhau:

Phép tính ngược của phép cộng $+$ (thêm vào, tăng lên) là phép trừ $-$ (bớt đi, giảm đi)

• Phép tính ngược của phép trừ $-$ là phép cộng $+$

• Phép tính ngược của phép nhân $\times$ (gấp lên bao nhiêu lần) là phép chia $:$ (giảm đi bao nhiêu lần)

• Phép tính ngược của phép chia $:$ là phép nhân $\times$

Xem thêm: 120 BÀI TOÁN THI VIOLYMPIC  LỚP 5

2. Một số bài toán giải bằng phương pháp tính ngược

Ví dụ 1. Tìm một số, biết rằng tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với $16$ rồi bớt đi $4$ và cuối cùng chia cho $3$ ta được kết quả bằng $12.$

Phân tích: Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy các phép tính dưới đây:

$\times 2$, $+ 16$, $- 4$, $: 3$ cho kết quả cuối cùng bằng $12.$

Như vậy, chúng ta sẽ lấy kết quả cuối cùng là $12$ và lần lượt thực hiện từ cuối lên các phép tính ngược với các phép tính trên:

$\times 3$, $+4$, $-16$ và cuối cùng là $:2$

Từ phân tích trên ta đi đến lời giải như sau đây.

**Lời giải. Số trước khi chia cho $3$ là:

$12 \times 3 = 36$

Số trước khi bớt đi $4$ là:

$36 + 4 = 40$

Số trước khi cộng với $16$ là:

$40-16 = 24$

Số cần tìm là:

$24 : 2 = 12$

Đáp số: Số cần tìm là $12.$

Ví dụ 2. Tìm một số biết rằng số đó lần lượt cộng với $1$ rồi nhân với $2$, được bao nhiêu đem chia cho $3$ rồi trừ đi $4$ thì được $5.$

Dãy phép tính đã thực hiện là:

$+1$, $\times 2$, $:3$, $-4$

Do đó, chúng ta sẽ lấy kết quả cuối cùng và lần lượt thực hiện các phép tính ngược lại sau:

$+4$, $\times 3$, $:2$, $-1$

**Lời giải. Số trước khi trừ đi $4$ là

$5+4=9$

Số trước khi chia cho $3$ là:

$9\times 3=27$

Số trước khi nhân $2$ là:

$27 : 2 = 13{,}5$

Vậy số phải tìm là:

$13{,}5-1=12{,}5$

Ví dụ 3. Hằng có một số tem thư, Hằng đã cho bạn $\frac{1}{2}$ số tem đó và thêm $1$ cái nữa thì còn lại $9$ cái. Hỏi lúc đầu Hằng có bao nhiêu tem thư?

Phân tích. Ta có thể hiểu bài toán này như sau: Tìm một số biết rằng số đó chia cho $2$ rồi trừ $1$ thì được kết quả là $9.$

Lời giải. Nếu không cho bạn thêm một cái nữa thì số tem thư Hằng có là:

$9+1=10$ (cái)

Đây chính là $\frac{1}{2}$ số tem lúc đầu, do đó số tem lúc đầu Hằng có là:

$10\times 2=20$ (cái)

Vậy lúc đầu Hằng có $20$ tem thư.

Ví dụ 4. Nhà Lan nuôi được một đàn gà. Tuần trước mẹ bán $\frac{2}{3}$ đàn gà. Tuần này mẹ bán $\frac{3}{4}$ số gà còn lại và $\frac{1}{4}$ con nữa thì đàn gà nhà Lan còn lại $3$ đôi gà. Hỏi đàn gà nhà Lan có tất cả bao nhiêu con?

**Lời giải. Đổi $3$ đôi gà = $6$ con gà. Chúng ta thấy:

• Bán $\frac{2}{3}$ đàn gà thì số gà còn lại là $\frac{1}{3}$ đàn gà.

• Bán $\frac{3}{4}$ số gà thì còn lại $\frac{1}{4}$ số gà.

Do đó, bài toán tương đương với việc: Tìm một số biết đem số đó nhân với $\frac{1}{3}$ rồi nhân với $\frac{1}{4}$ và trừ đi $\frac{1}{4}$ thì được kết quả là $6.$ Các phép tính đã thực hiện là

$\times \frac{1}{3}$, $\times \frac{1}{4}$, $-\frac{1}{4}$

Do đó, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từ cuối lên các phép tính ngược của mỗi phép tính trên.

Có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng sau để dễ hình dung:

Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là:

$\left(6 + \frac{1}{4}\right) \times 4 = 25$ con.

Số gà của cả đàn là:

$25\times 3 = 75$ con.

Ví dụ 5. Dì Út đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất bán một nửa số trứng cộng thêm 1 quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm 2 quả và lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại sau hai lần bán cộng thêm 3 quả thì vừa hết số trứng.

Hỏi dì Út đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng?

Phân tích. Bài toán tương đương với: Tìm một sốbiết rằng đem số đó chia cho $2$, trừ $1$, chia $2$, trừ $2$, chia $2$, trừ $3$ thì được kết quả bằng $0.$

**Lời giải. Lần thứ ba, dì Út bán một nửa số trứng và $3$ quả thì vừa hết, chứng tỏ $3$ quả trứng tương ứng với một nửa số trứng của lần bán đó.

Số trứng còn lại sau khi bán lần 2 là:

$3\times 2 = 6$ quả.

Số trứng còn lại sau khi bán lần 1 là:

$(6 + 2)\times 2 = 16$ quả.

Số trứng ban đầu là:

$(16 + 1)\times 2 = 34$ quả.

Đáp số: $34$ quả trứng.

Ví dụ 6. Lớp 5A tham gia học may, ngày thứ nhất có $\frac{1}{6}$ số học sinh của lớp và $2$ em tham gia, ngày thứ hai có $\frac{1}{4}$ số em còn lại và $1$ em tham gia, ngày thứ ba có $\frac{2}{5}$ số còn lại sau $2$ ngày và $3$ em tham gia. Ngày thứ tư có $\frac{2}{5}$ số còn lại sau hai ngày và $1$ em tham gia. Cuối cùng còn lại $5$ em chưa tham gia. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh ?

**Lời giải. Ta có sơ đồ sau:

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ ba là:

$( 5 + 1 ) : 3 \times 5 = 10$ (em)

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ hai là:

$( 10 + 2 ) : 3 \times 5 = 20$ (em)

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ nhất là:

$( 20 + 1 ) : 3 \times 4 = 28$ (em)

Số em học sinh ban đầu là:

$( 28 + 2 ) : 5 \times 6 = 36$ (em)

Đáp số: $36$ em.

3. Bài tập phương pháp tính ngược từ cuối

Bài 1. Tìm số tự nhiên để khi nhân số đó với 12345679 thì được một số gồm toàn chữ số 9.

Bài 2. Tìm một số biết rằng số đó nhân với 4, được bao nhiêu đem cộng với 4 thì được kết quả là 7744.

Bài 3. Cho ba số có tổng bằng 45. Nếu chuyển 3 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ hai và chuyển 2 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ nhất thì được ba kết quả bằng nhau. Hãy tìm ba số đã cho.

Bài 4: Căn phòng có 4 bức tường, trên mỗi bức tường treo 3 lá cờ mà khoảng cách giữa 3 lá cờ trên một bức tường là như nhau. Bạn có biết căn phòng treo mấy lá cờ không?

Bài 5. Có 3 kho gạo với tổng số gạo là 210 tấn. Nếu chuyển 20 tấn gạo từ kho A sang kho B, rồi chuyển 50 tấn gạo từ kho B sang kho C thì số gạo ở kho C sẽ gấp đôi số gạo ở kho B, số gạo ở kho B sẽ gấp đôi số gạo ở kho A. Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

Bài 6: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn?

Bài 7: Có một giống bèo cứ mỗi ngày lại nở tăng gấp đôi. Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ một cây bèo thì 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ. Vậy nếu ban đầu cho vào 16 cây bèo thì mấy ngày sau bèo phủ kín mặt hồ?

Bài 8: Tìm một số biết số đó chia cho 3, được bao nhiêu cộng với 5, rồi nhân với 4 thì được 60.

Bài 9: Một đội xe chở kẹo, mỗi xe chở 28 thùng kẹo, mỗi thùng kẹo chứa 24 hộp kẹo, mỗi hộp kẹo chứa 32 viên kẹo. Biết rằng cả đội xe chở được 107520 viên kẹo. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc xe?

Bài 10: Bình đi chợ đem theo một số tiền, Bình mua sách hết 2/3 số tiền mang theo, mua vở hết 3/4 số tiền còn lại, cuối cùng mua một cây bút giá 3000 đồng thì hết số tiền. Hỏi Bình đem theo bao nhiêu tiền?

Bài 11. Kiên và Hiển cùng chơi như sau: Nếu Kiên chuyển cho Hiển một số bi đúng bằng số bi mà Hiển đang có, rồi Hiển lại chuyển cho Kiên một số bi đúng bằng số bi còn lại của Kiên thì cuối cùng Hiển có 35 viên bi và Kiên có 30 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

Bài 12. Lọ Lem chia một quả dưa (dưa đỏ) thành 9 phần cho 9 cụ già. Nhưng khi các cụ ăn xong, Lọ Lem thấy có 10 miếng vỏ dưa. Lọ Lem chia dưa kiểu gì ấy nhỉ?

Bài 13. Có ba đội Thiếu niên A, B, C với tổng số đội viên khoảng 40 đến 50 bạn. Để chuẩn bị tham gia lao động, nhà trường dự định chia số đội viên bằng số đội viên đang có của đội B, rồi chuyển từ đội B sang đội C một số đội viên bằng số đội viên của đội C. Cuối cùng chuyển từ đội C sang đội A một số đội viên bằng số đội viên còn lại của đội A. Sau ba lần chuyển như vậy thì số đội viên ở ba đội sẽ bằng nhau. Hãy tính số đội viên ở mỗi đội Thiếu niên lúc chưa chuyển.

Bài 14. Nhà bạn Hải nuôi được một số thỏ. Đợt một bán đi một phần ba số thỏ, đợt hai bán đi một phần ba số thỏ còn lại, đợt ba bán đi một phần ba số thỏ còn lại sau 2 đợt, cuối cùng còn lại 8 con thỏ. Hỏi nhà bạn Hải nuôi được bao nhiêu con thỏ?

Bài 15. (Toán cổ) Một người đem bán một số gà. Lần đầu bán 2 con gà, lần thứ hai bán ½ số gà còn lại và ½ con gà, lần thứ ba bán ½ số gà còn lại sau hai lần và ½ con gà, lần cuối cùng bán ½ số gà còn lại sau ba lần và ½ con gà vừa hết số gà đem bán. Hỏi người đó đã bán tất cả mấy con gà?

Bài 16. (Toán cổ) Người qua đường hỏi một cụ già đang cưỡi ngựa: “Làm sao mà trông cụ buồn phiền vậy?”. Cụ già đáp lại: “ Làm sao mà chẳng buồn phiền? Một nửa đàn ngựa của tôi và thêm một con nữa bị lạc xuống phía Nam, một nửa số ngựa còn lại sau hai lần đó và thêm một nửa con nữa chạy qua phía Tây,một nửa con ngựa còn lại cuối cùng và thêm một nửa con nữa tôi đã đem bán ở phía Bắc. Bây giờ tôi chỉ còn lại một con ngựa mà tôi đang cưỡi đây”. Hãy tính xem lúc đầu cụ già có tất cả bao nhiêu con ngựa?

Bài 17. (Toán cổ) Một tên tham lam gặp con quỷ ở cạnh chiếc cầu. Tên này than phiền với con quỷ về nỗi nghèo khổ của mình. Con quỷ nói rằng “Tôi có thể giúp anh. Cứ mỗi lần anh đi qua cầu thì số tiền của anh sẽ được tăng gấp đôi, nhưng ngay sau đó anh phải trả lại cho tôi 24 xu. Bằng lòng chứ?” Tên tham lam bằng lòng như thế. Sau khi hắn đi qua cầu lần thứ ba thì thấy trong túi của mình không còn một xu nào. Hỏi lúc đầu tên tham lam có bao nhiêu tiền?

Bài 18. Một người cha khi chết để lại di chúc phân chia gia tài cho bốn người con như sau:

• Người con cả được một nửa gia tài bớt đi 3000 đồng.

• Người con thứ hai được 1/3 gia tài còn lại bớt đi 1000 đồng.

• Người con thứ ba được đúng 1/4 gia tài còn lại.

• Người con út được 1/5 gia tài còn lại và 6000 đồng còn lại.

Hỏi cả gia tài của người cha có bao nhiêu tiền và mỗi người con được chia bao nhiêu?