Đề 003 năm 2026 — Hàm số, đạo hàm, cực trị và tiệm cận

Có tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ và $y'=\frac{-4}{(x-1)^2} <0,\forall x\ne 1$. Do đó hàm số nghịch biến trên $[-1;0]$ và $\min\limits_{[-1;0]} y=y(0)=\text{–}3.$

Dễ thấy điểm thấp nhất của đồ thị hàm số có tung độ bằng –1, hay giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định là $\text{–}1.$

Đạo hàm:

$$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$$

Cho $f'(x) = 0$, ta có phương trình:

$$3x^2 - 4x - 4 = 0$$

Giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm:

• $x = 2$ (thỏa mãn thuộc đoạn $[1; 3]$)

• $x = -\frac{2}{3}$ (loại vì không thuộc đoạn $[1; 3]$)

Tính giá trị của $f(x)$ tại các điểm mút của đoạn và tại $x=2$ ta có:

$$f(1) =\text{–}4,\quad f(2) =\text{–}7,\quad f(3) =\text{–}2$$

So sánh các giá trị vừa tính, ta thấy giá trị lớn nhất là –2, đạt được khi $x = 3$.

Tập xác định: Hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ xác định và liên tục trên đoạn $[-1; 0]$ (do mẫu số $x - 2 \neq 0$ với mọi $x \in [-1; 0]$).

Đạo hàm:

$$y' = \dfrac{1 \cdot (\text{–}2) - 1 \cdot 1}{(x - 2)^2} = \dfrac{-3}{(x - 2)^2}$$

Chiều biến thiên: Vì $y' < 0$ với mọi $x \in [-1; 0]$, nên hàm số luôn nghịch biến (giảm dần) trên đoạn này.

Kết luận: Do hàm số nghịch biến trên $[-1; 0]$, giá trị lớn nhất sẽ đạt được tại điểm đầu $x =\text{–}1$:

$$\max\limits_{[-1; 0]} y = y(\text{–}1) = \dfrac{-1 + 1}{-1 - 2} = 0$$

Giá trị lớn nhất là $M = 12$ và giá trị nhỏ nhất là $m =\text{–}6$. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

• Hàm số $f(x) =\text{–}2x^4 + 4x^2 + 10$ là hàm đa thức nên xác định và liên tục trên đoạn $[0; 2]$.

• Đạo hàm: $f'(x) =\text{–}8x^3 + 8x$.

• Tìm các điểm tới hạn: Cho $f'(x) = 0$, ta có: $\text{–}8x^3 + 8x = 0$

$$\iff \left[\begin{array}{l} x = 0 \in [0; 2] \\ x = 1 \in [0; 2] \\ x =\text{–}1 \notin [0; 2] \text{ (loại)} \end{array}\right.$$

• Tính giá trị của $f(x)$ tại các điểm mút của đoạn và tại điểm tới hạn $x = 1$ ta được:

$$f(0) = 10,\quad f(1) = 12, \quad f(2) =\text{–}6$$

• Kết luận: So sánh các giá trị 10, 12, –6 ta được giá trị lớn nhất $M = \max\limits_{[0; 2]} f(x) = 12$ (đạt tại $x = 1$), giá trị nhỏ nhất: $m = \min\limits_{[0; 2]} f(x) =\text{–}6$ (đạt tại $x = 2$).

Giá trị lớn nhất của hàm số là $\dfrac{9}{4}$ (hoặc 2,25). Dưới đây là các bước giải chi tiết:

Tập xác định: Điều kiện xác định: $x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -2$ nên tập xác định của hàm số là $\mathbb{D} = [-2; +\infty)$.

Đạo hàm:

$$y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 2}} - 1 \quad (\forall x > -2)$$

Tìm điểm tới hạn: Cho $y' = 0$, ta có:

$$\dfrac{1}{2\sqrt{x + 2}} - 1 = 0 \iff 2\sqrt{x + 2} = 1 \iff \sqrt{x + 2} = \dfrac{1}{2}$$$$\iff x + 2 = \dfrac{1}{4} \iff x = -\dfrac{7}{4} \quad (\text{thỏa mãn } x \ge -2)$$

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số giá trị lớn nhất tại $x = -\frac{7}{4}$.

Kết luận:

$$\max y = \dfrac{9}{4} \quad \text{tại } x = -\dfrac{7}{4}$$

Giá trị lớn nhất của hàm số là $M = 0$. Dưới đây là các bước giải chi tiết

• Tập xác định: Điều kiện xác định: $4 - x \ge 0 \iff x \le 4$ nên tập xác định của hàm số là $D = (-\infty; 4]$.

• Cách 1: Đánh giá trực tiếp. Với mọi $x \in (-\infty; 4]$, ta có:

$$\sqrt{4 - x} \ge 0$$

Nhân cả hai vế với $\text{–}2 < 0$, bất đẳng thức đổi chiều:

$$\text{–}2\sqrt{4 - x} \le 0 \implies y \le 0$$

Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{4 - x} = 0 \iff 4 - x = 0 \iff x = 4$.

• Cách 2: Dùng đạo hàm và chiều biến thiên. Đạo hàm của hàm số với $x < 4$:

$$y' =\text{–}2 \cdot \dfrac{-1}{2\sqrt{4 - x}} = \dfrac{1}{\sqrt{4 - x}}$$

Vì $y' > 0$ với mọi $x \in (-\infty; 4)$, hàm số đồng biến (tăng dần) trên tập xác định. Do đó, giá trị lớn nhất đạt được tại $x = 4$.

• Kết luận:

$$M = \max y = 0 \quad \text{tại } x = 4$$

Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ là $M = \sqrt{2}$. Dưới đây là hai cách giải chi tiết:

• Cách 1: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên.

Tập xác định: $D = (-\infty; +\infty)$ vì $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đạo hàm:

$$y' = \dfrac{(x + 1)'\sqrt{x^2 + 1} - (x + 1)\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)'}{x^2 + 1}= \dfrac{1 - x}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$$

Tìm điểm tới hạn:

$$y' = 0 \iff 1 - x = 0 \iff x = 1$$

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên $(-\infty; +\infty)$ là

$$M = y(1) = \sqrt{2}$$

• Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (giải nhanh). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số $(1; 1)$ và $(x; 1)$:

$$(1 \cdot x + 1 \cdot 1)^2 \le (1^2 + 1^2)(x^2 + 1^2)$$$$\iff (x + 1)^2 \le 2(x^2 + 1)$$

Chia cả hai vế cho $x^2 + 1 > 0$ rồi lấy căn bậc hai hai vế:

$$\dfrac{(x + 1)^2}{x^2 + 1} \le 2 \implies \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} \le \sqrt{2}$$

Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x}{1} = \dfrac{1}{1} \iff x = 1$.Vậy $M = \max y = \sqrt{2}$ tại $x = 1$.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2x + \dfrac{1}{x}$ khi $x < 0$ là $\text{–}2\sqrt{2}$. Dưới đây là hai cách giải chi tiết:

• Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM)

Vì $x < 0$, đặt $t = -x \implies t > 0$. Khi đó, hàm số trở thành:

$$y =\text{–}2t - \dfrac{1}{t} = -\left(2t + \dfrac{1}{t}\right)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $2t$ và $\dfrac{1}{t}$:

$$2t + \dfrac{1}{t} \ge 2\sqrt{2t \cdot \dfrac{1}{t}} = 2\sqrt{2}$$

Nhân cả hai vế với $\text{–}1 < 0$, bất đẳng thức đổi chiều:

$$y = -\left(2t + \dfrac{1}{t}\right) \le -2\sqrt{2}$$

Dấu "=" xảy ra khi: $2t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad (\text{do } t > 0)$. Suy ra $x = -t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Cách 2: Sử dụng đạo hàm và xét sự biến thiên

Tập xác định: $\mathbb{D} = (-\infty; 0)$. Đạo hàm:

$$y' = 2 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2x^2 - 1}{x^2}$$

Tìm điểm tới hạn trên $(-\infty; 0)$:

$$y' = 0 \iff 2x^2 - 1 = 0 \iff x^2 = \dfrac{1}{2} \iff x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad (\text{do } x < 0)$$

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ và

$$\max\limits_{(-\infty; 0)} y = y\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\text{–}2\sqrt{2}.$$

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x(1 - x^2)$ trên khoảng $(0; 1)$ là $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$. Dưới đây là hai cách giải chi tiết:

• Hàm số xác định trên khoảng $(0; 1)$.

• Khai triển và tính đạo hàm:

$$f(x) = x - x^3 \implies f'(x) = 1 - 3x^2$$

• Tìm điểm tới hạn trên khoảng $(0; 1)$:

$$f'(x) = 0 \iff 1 - 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x =\dfrac{\sqrt{3}}{3} \quad (\text{do } x \in (0; 1))$$

• Bảng biến thiên:

• Kết luận. Căn cứ bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất:

$$\max\limits_{(0; 1)} f(x) = f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}.$$

Hàm số $y = f(x + 3) + 2x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0$ thuộc khoảng $(-\infty;\text{–}3)$. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

• Dựa vào bảng xét dấu đã cho và $f'(0) = 3$, $f'(2) =\text{–}2$, ta có bảng biến thiên như sau:

• Đặt $g(x) = f(x + 3) + 2x$ thì đạo hàm:

$$g'(x) = f'(x + 3) + 2$$

• Ta có bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0<-3$.

Giá trị của $a + 2b$ là –4. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

Vì $M$ là giá trị lớn nhất nên hiển nhiên

$$M \ge |f(\text{–}1)| = |b - a + 1|,\quad M \ge |f(3)| = |b + 3a + 9| .$$

Chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức $|A| + |B| \ge |A+B|$ nhưng $f(\text{–}1)+f(3)$ chưa triệt tiêu hết $a,b$ để được một hằng số. Vậy ta cần tìm một điểm nữa.

Chúng ta sử dụng một tính chất của hàm bậc hai, nếu $P(x)=x^2+ax+b$ và lấy hai điểm đối xứng quanh $m$ là $ m-h$và$ m+h, $thì$ P(m-h)+P(m+h)-2P(m)=2h^2. $

Các số hạng chứa $a,b$ đều triệt tiêu. Áp dụng vào bài này, ta lấy điểm $x=\frac{-1+3}{2}=1$, có

$$M \ge |f(1)| = |b + a + 1| \Rightarrow 2M \ge |-2b - 2a - 2|.$$

Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức $|A| + |B| +|C| \ge |A+B+C|$ ta được

$$4M \ge |b - a + 1| + |b + 3a + 9| + |-2b - 2a - 2|$$$$\ge |b - a + 1 + b + 3a + 9 - 2b - 2a - 2| = 8$$

Suy ra, $M \geqslant 2$ hay giá trị nhỏ nhất của $M$ là 2. Dấu bằng xảy ra khi

$$\begin{cases} |b - a + 1| = 2 \\ |b + 3a + 9| = 2 \\ |b + a + 1| = 2 \end{cases}$$

và $b - a + 1, b + 3a + 9,\text{–}2b - 2a - 2$ cùng dấu. Từ đó tìm được $a =\text{–}2$ và $b =\text{–}1$. Lúc đó, ta có hàm số $g(x) = x^2 - 2x - 1$ có đỉnh là $x = 1 \in [-1; 3]$. Giá trị lớn nhất của $f(x)=\left\|g(x)\right\|$ trên đoạn này đúng bằng 2.

Dưới đây là phân tích chi tiết cho từng phát biểu:

• a) SAI. Lý do: Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) đòi hỏi $f(x) \le M$ với mọi $x \in \mathscr{D}$ (chứ không phải $f(x) \ge M$). Ngoài ra, phải có điều kiện bắt buộc là tồn tại $x_0 \in \mathscr{D}$ sao cho $f(x_0) = M$.

• b) ĐÚNG. Lý do: Đây là định nghĩa chuẩn của giá trị nhỏ nhất (GTNN): $m$ là GTNN của $f(x)$ trên $\mathscr{D}$ khi và chỉ khi $f(x) \ge m$ với mọi $x \in \mathscr{D}$ và tồn tại $x_0 \in \mathscr{D}$ sao cho $f(x_0) = m$.

• c) SAI. Lý do: Đẳng thức $M - m = 0 \iff M = m$ chỉ xảy ra khi $f(x)$ là hàm hằng trên tập $\mathscr{D}$. Trong trường hợp tổng quát, giá trị lớn nhất luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất ($M \ge m \implies M - m \ge 0$).

• d) ĐÚNG. Lý do: Đây là định nghĩa chuẩn của giá trị lớn nhất (GTLN): $M$ là GTLN của $f(x)$ trên $\mathscr{D}$ khi và chỉ khi $f(x) \le M$ với mọi $x \in \mathscr{D}$ và tồn tại $x_0 \in \mathscr{D}$ sao cho $f(x_0) = M$

Dưới đây là lời giải chi tiết và đánh giá tính đúng/sai cho từng phát biểu:

• a) ĐÚNG. Giải thích: Doanh thu $f(x)$ được tính bằng số lượng sản phẩm bán ra nhân với giá bán trên mỗi sản phẩm:

$$f(x) = x \cdot q(x) = x(10000 - 250x) \text{ (nghìn đồng)}$$

• b) ĐÚNG. Giải thích: Từ $f(x) =\text{–}250x^2 + 10000x$, tính đạo hàm ta được:

$$f'(x) = (\text{–}250x^2 + 10000x)' =\text{–}500x + 10000$$

• c) SAI. Giải thích: Giải phương trình $f'(x) = 0$:

$$\text{–}500x + 10000 = 0 \iff 500x = 10000 \iff x = 20$$

Nghiệm của phương trình là $x = 20$ (thỏa mãn $0 < x < 40$), không phải $x = 2$.

• d) ĐÚNG. Giải thích: Vì $f''(x) =\text{–}500 < 0$ nên hàm số $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm tới hạn $x = 20$.Giá trị doanh thu lớn nhất là:

$$f(20) = 20 \cdot (10000 - 250 \cdot 20) = 20 \cdot 5000 = 100000 \text{ (nghìn đồng)}$$

Đổi đơn vị: 100 000 nghìn đồng = 100 000 000 đồng = 100 triệu đồng.

Giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = 2$. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

• Điều kiện xác định: Để hàm số xác định và liên tục trên đoạn $[0; 1]$, mẫu số phải khác 0 với mọi $x \in [0; 1]$:

$$mx + 1 \neq 0 \quad \forall x \in [0; 1]$$

• Đạo hàm:

$$y' = \dfrac{1 \cdot 1 - (-m) \cdot m}{(mx + 1)^2} = \dfrac{m^2 + 1}{(mx + 1)^2}$$

Vì $m^2 + 1 > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$ nên $y' > 0$ trên tập xác định.

• Tìm $m$: Do $y' > 0$ với mọi $x \in [0; 1]$, hàm số luôn đồng biến (tăng dần) trên đoạn $[0; 1]$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 1]$ đạt được tại $x = 0$:

$$\min\limits_{[0; 1]} y = y(0) = \dfrac{0 - m}{m \cdot 0 + 1} = -m$$

Theo bài ra, giá trị nhỏ nhất bằng –2:

$$-m =\text{–}2 \iff m = 2$$

• Thử lại: Với $m = 2$, hàm số trở thành $y = \dfrac{x - 2}{2x + 1}$. Mẫu số $2x + 1 \neq 0 \iff x \neq -\dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn xác định và liên tục trên $[0; 1]$).$\min\limits_{[0; 1]} y = y(0) =\text{–}2$ (thỏa mãn). Vậy $m = 2$.

• Chi phí vận hành (cố định) cho $n$ máy in: Chi phí cho mỗi máy là 50 nghìn đồng, nên chi phí cho $n$ máy là:

$$C_1 = 50n \text{ (nghìn đồng)}$$

• Thời gian hoàn thành và chi phí chạy $n$ máy: Một máy in được 3600 bản/giờ nên $n$ máy in được $3600n$ bản/giờ. Thời gian cần thiết để in xong 50000 tờ quảng cáo là:

$$t = \dfrac{50000}{3600n} = \dfrac{125}{9n} \text{ (giờ)}$$

Chi phí chạy $n$ máy trong thời gian $t$ giờ (với chi phí $10(6n + 10)$ nghìn đồng/giờ):

$$C_2 = 10(6n + 10) \cdot \dfrac{125}{9n} = \dfrac{1250(6n + 10)}{9n} = \dfrac{2500}{3} + \dfrac{12500}{9n} \text{ (nghìn đồng)}$$

• Lập hàm tổng chi phí $C(n)$:

$$C(n) = C_1 + C_2 = 50n + \dfrac{2500}{3} + \dfrac{12500}{9n} \text{ (nghìn đồng)}$$

• Tìm giá trị nhỏ nhất của $C(n)$ trên đoạn $[1; 8]$: Xét hàm số $f(x) = 50x + \dfrac{2500}{3} + \dfrac{12500}{9x}$ trên đoạn $[1; 8]$. Tính đạo hàm:

$$f'(x) = 50 - \dfrac{12500}{9x^2}$$

Cho $f'(x) = 0$:

$$50 = \dfrac{12500}{9x^2} \implies x = \sqrt{\dfrac{250}{9}} = \dfrac{5\sqrt{10}}{3} \approx 5{,}27$$

Nhận xét: Trên khoảng $(1; 5{,}27)$, $f'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến (giảm). Trên khoảng $(5{,}27; 8)$, $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến (tăng). Do $n$ phải là số nguyên nguyên dương trong đoạn $[1; 8]$, ta so sánh chi phí tại hai điểm nguyên gần $5{,}27$ nhất là $n = 5$ và $n = 6$:

Với $n = 5$:

$$C(5) = 50(5) + \dfrac{2500}{3} + \dfrac{12500}{9 \cdot 5} = 250 + \dfrac{2500}{3} + \dfrac{2500}{9} = \dfrac{12250}{9} \approx 1361{,}11 \text{ (nghìn đồng)}$$

Với $n = 6$:

$$C(6) = 50(6) + \dfrac{2500}{3} + \dfrac{12500}{9 \cdot 6} = 300 + \dfrac{2500}{3} + \dfrac{12500}{54} = \dfrac{36850}{27} \approx 1364{,}81 \text{ (nghìn đồng)}$$

So sánh $C(5) < C(6)$, vậy chi phí đạt giá trị nhỏ nhất khi $n = 5$.

Kết luận:Để thu được lãi nhiều nhất, xưởng in phải sử dụng 5 máy in.

Chi phí thấp nhất để ông An thuê nhân công xây bể là 108 triệu đồng. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

Gọi kích thước của bể: Chiều rộng đáy bể: $x \text{ (m)}$ với $x > 0$. Chiều dài đáy bể: $2x \text{ (m)}$. Chiều cao bể: $h \text{ (m)}$ với $h > 0$.

Biểu diễn chiều cao $h$ theo $x$: Thể tích bể là $V = 288\text{ m}^3$:

$$V = 2x \cdot x \cdot h = 2x^2 h = 288 \implies h = \dfrac{144}{x^2}$$

Lập biểu thức diện tích cần xây (bể không nắp):Diện tích các mặt cần xây gồm 1 mặt đáy và 4 mặt xung quanh:

$$S = (2x \cdot x) + 2(2x \cdot h) + 2(x \cdot h) = 2x^2 + 6xh$$

Thay $h = \dfrac{144}{x^2}$ vào biểu thức diện tích $S$:

$$S(x) = 2x^2 + 6x \cdot \dfrac{144}{x^2} = 2x^2 + \dfrac{864}{x}$$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $S(x)$ với $x > 0$:

Cách 1: Dùng đạo hàm

$$S'(x) = 4x - \dfrac{864}{x^2}$$

Cho $S'(x) = 0$:

$$4x - \dfrac{864}{x^2} = 0 \iff 4x^3 = 864 \iff x^3 = 216 \iff x = 6\text{ (m)}$$

Vì $S'(x) < 0$ khi $x \in (0; 6)$ và $S'(x) > 0$ khi $x \in (6; +\infty)$, nên diện tích $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 6$:

$$S_{\min} = S(6) = 2(6)^2 + \dfrac{864}{6} = 72 + 144 = 216\text{ m}^2$$

Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM)

$$S(x) = 2x^2 + \dfrac{432}{x} + \dfrac{432}{x} \ge 3 \sqrt[3]{2x^2 \cdot \dfrac{432}{x} \cdot \dfrac{432}{x}} = 3 \sqrt[3]{373248} = 3 \cdot 72 = 216\text{ m}^2$$

Tính chi phí nhân công thấp nhất:Giá thuê nhân công là 500.000 đồng/$\text{m}^2 = 0{,}5$ triệu đồng/$\text{m}^2$.

$$\text{Chi phí thấp nhất} = 216 \cdot 500.000 = 108.000.000\text{ đồng} = 108\text{ triệu đồng}.$$

Phương trình tiếp tuyến là $y=\text{–}3x-2$.